DMTCS Proceedings, 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010)

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A canonical basis for Garsia-Procesi modules

Jonah Blasiak


We identify a subalgebra &widehat;H+n of the extended affine Hecke algebra &widehat;Hn of type A. The subalgebra &widehat;H+n is a u-analogue of the monoid algebra of Sn ⋉ℤ≥0n and inherits a canonical basis from that of &widehat;Hn. We show that its left cells are naturally labeled by tableaux filled with positive integer entries having distinct residues mod n, which we term positive affine tableaux (PAT). We then exhibit a cellular subquotient R1n of &widehat;H+n that is a u-analogue of the ring of coinvariants ℂ[y1,…,yn]/(e1, …,en) with left cells labeled by PAT that are essentially standard Young tableaux with cocharge labels. Multiplying canonical basis elements by a certain element π∈&widehat;H+n corresponds to rotations of words, and on cells corresponds to cocyclage. We further show that R1n has cellular quotients Rλ that are u-analogues of the Garsia-Procesi modules Rλ with left cells labeled by (a PAT version of) the λ-catabolizable tableaux.
Résumé. On définit une sous-algèbre &widehat;H+n de l'extension affine de l'algèbre de Hecke &widehat;Hn de type A. La sous-algèbre &widehat;H+n est u-analogue à l'algèbre monoïde de Sn ⋉ℤ≥0n et hérite d'une base canonique de &widehat;Hn. On montre que ses cellules gauches sont naturellement classées par des tableaux remplis d'entiers naturels ayant chacun des restes différents modulo n, que l'on nomme Positive Affine Tableaux (PAT). On montre ensuite qu'un sous-quotient cellulaire R1n de &widehat;H+n est une u-analogue de l'anneau des co-invariants ℂ[y1,…,yn]/(e1, …,en) avec des cellules gauches classées PAT qui sont essentiellement des tableaux de Young standards avec des labels cochargés. Multiplier les éléments de la base canonique par un certain élément π∈ &widehat;H+n correspond à des rotations de mots, et par rapport aux cellules cela correspond à un cocyclage. Plus loin, on montre que R1n a pour quotients cellulaires Rλ qui sont u- analogues aux modules de Garsia-Procesi Rλ avec des cellules gauches définies par (une version PAT) des tableaux λ-catabolisable.

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