DMTCS Proceedings, 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010)

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A Closed Character Formula for Symmetric Powers of Irreducible Representations

Stavros Kousidis


We prove a closed character formula for the symmetric powers SN V(λ) of a fixed irreducible representation V(λ) of a complex semi-simple Lie algebra g by means of partial fraction decomposition. The formula involves rational functions in rank of g many variables which are easier to determine than the weight multiplicities of SN V(λ) themselves. We compute those rational functions in some interesting cases. Furthermore, we introduce a residue-type generating function for the weight multiplicities of SN V(λ) and explain the connections between our character formula, vector partition functions and iterated partial fraction decomposition.
Résumé. french Nous établissons une formule fermée pour le caractère de la puissance symétrique SN V(λ) d'une représentation irréductible V(λ) d'une algèbre de Lie semi-simple complexe g, en utilisant des décompositions en fractions partielles. Cette formule exprime ce caractère en termes de fractions rationnelles en r variables, où r est le rang de g. Ces fractions sont plus faciles à déterminer que les multiplicités de la décomposition de SN V(λ) elles-mêmes. Nous calculons ces fonctions rationnelles dans quelques cas intéressants. Nous introduisons par ailleurs une fonction génératrice de type résidu pour les multiplicités de SN V(λ) et relions notre formule aux fonctions de partitions vectorielles et aux décompositions itérées en fractions partielles.

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