DMTCS Proceedings, 23rd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2011)

Font Size:  Small  Medium  Large

A tight colored Tverberg theorem for maps to manifolds (extended abstract)

Pavle V. M. Blagojević, Benjamin Matschke, Günter M. Ziegler

Abstract


Any continuous map of an N-dimensional simplex ΔN with colored vertices to a d-dimensional manifold M must map r points from disjoint rainbow faces of ΔN to the same point in M, assuming that N≥(r-1)(d+1), no r vertices of ΔN get the same color, and our proof needs that r is a prime. A face of ΔN is called a rainbow face if all vertices have different colors. This result is an extension of our recent ``new colored Tverberg theorem'', the special case of M=ℝd. It is also a generalization of Volovikov's 1996 topological Tverberg theorem for maps to manifolds, which arises when all color classes have size 1 (i.e., without color constraints); for this special case Volovikov's proofs, as well as ours, work when r is a prime power.
Résumé. Étant donné un simplex ΔN de dimension N ayant les sommets colorés, une face de ΔN est dite arc-en-ciel, si tous les sommets de cette face ont des couleurs différentes. Toute fonction continue d'un simplex ΔN de dimension N aux sommets colorés vers une variété d-dimensionnelle M doit envoyer r points provenant de faces arc-en-ciel disjointes de ΔN au mêmes points dans M; en supposant que N ≥(r-1)(d +1), un ensemble de r sommets de ΔN doit être coloré à l'aide d'au moins deux couleurs. Notre démonstration requiert que r soit un nombre premier. Ce résultat est une extension de notre ``nouveau théorème de Tverberg coloré'', le cas particulier où M = ℝd. Il est également une généralisation du théorème de Tverberg topologique de Volovikov datant de 1996, pour les fonctions vers une variété, dont les classes de couleurs sont de taille 1 (c'est-à-dire sans contraintes de couleur). Dans ce cas particulier, la démonstration de Volovikov et la nôtre fonctionnent lorsque r est une puissance d'un premier.

Full Text: PostScript PDF

Valid XHTML 1.0 Transitional