DMTCS Proceedings, 24th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2012)

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Constructing neighborly polytopes and oriented matroids

Arnau Padrol


A d-polytope P is neighborly if every subset of ⌊d/2⌋ vertices is a face of P. In 1982, Shemer introduced a sewing construction that allows to add a vertex to a neighborly polytope in such a way as to obtain a new neighborly polytope. With this, he constructed superexponentially many different neighborly polytopes. The concept of neighborliness extends naturally to oriented matroids. Duals of neighborly oriented matroids also have a nice characterization: balanced oriented matroids. In this paper, we generalize Shemer's sewing construction to oriented matroids, providing a simpler proof. Moreover we provide a new technique that allows to construct balanced oriented matroids. In the dual setting, it constructs a neighborly oriented matroid whose contraction at a particular vertex is a prescribed neighborly oriented matroid. We compare the families of polytopes that can be constructed with both methods, and show that the new construction allows to construct many new polytopes.
Résumé. Un d-polytope P est neighborly si tout sous-ensemble de ⌊d/2⌋ sommets forme une face de P. En 1982, Shemer a introduit une construction de couture qui permet de rajouter un sommet à un polytope neighborly et d'obtenir un nouveau polytope neighborly. Cette construction lui permet de construire un nombre super-exponentiel de polytopes neighborly distincts. Le concept de neighborliness s'étend naturellement aux matroïdes orientés. Les duaux de matroïdes orientés neighborly ont de plus une belle caractérisation: ce sont les matroïdes orientés &em;quilibrés. Dans cet article, nous généralizons la construction de couture de Shemer aux matroïdes orientés, ce qui en fournit une démonstration plus simple. Par ailleurs, nous proposons une nouvelle technique qui permet de construire matroïdes orientés équilibrés. Dans le cadre dual, on obtient un matroïde neighborly dont la contraction à un sommet distingué est un matroïde neighborly prescrit. Nous comparons les familles de polytopes qui peuvent être construites avec ces deux méthodes, et montrons que la nouvelle construction permet de construire plusieurs nouveaux polytopes.

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