In this paper we give a graph theoretic combinatorial interpretation for the cluster variables that arise in most cluster algebras of finite type. In particular, we provide a family of graphs such that a weighted enumeration of their perfect matchings encodes the numerator of the associated Laurent polynomial while decompositions of the graphs correspond to the denominator. This complements recent work by Schiffler and Carroll-Price for a cluster expansion formula for the An case while providing a novel interpretation for the Bn, Cn, and Dn cases.
Résumé. Dans cet article nous donnons une interprétation combinatoire en termes de théorie des graphes pour les variables de clusters qui apparaissent dans la plupart des algèbres à clusters de type fini. En particulier, nous décrivons une famille de graphes tels qu'une énumération pondérée de leurs matchings parfaits encode le numérateur du polynôme de Laurent associé, tandis que les décompositions du graphe correspondent au dénominateur. Ceci complète les récents travaux de Schiffler et Carroll-Price qui donnent une formule pour le développement d'une variable de cluster dans le cas An, tout en fournissant une nouvelle interprétation dans les cas Bn, Cn et Dn.