We give a multivariate analog of the type B Eulerian polynomial introduced by Brenti. We prove that this multivariate polynomial is stable generalizing Brenti's result that every root of the type B Eulerian polynomial is real. Our proof combines a refinement of the descent statistic for signed permutations with the notion of real stability — a generalization of real-rootedness to polynomials in multiple variables. The key is that our refined multivariate Eulerian polynomials satisfy a recurrence given by a stability-preserving linear operator.
Résumé. Nous présentons un raffinement multivarié d'un polynôme eulérien de type B défini par Brenti. En prouvant que ce polynôme est stable nous généralisons un résultat de Brenti selon laquel chaque racine du polynôme eulérien de type B est réelle. Notre preuve combine un raffinement de la statistique des descentes pour les permutations signées avec la stabilité — une généralisation de la propriété d'avoir uniquement des racines réelles aux polynômes en plusieurs variables. La connexion est que nos polynômes eulériens raffinés satisfont une récurrence donnée par un opérateur linéaire qui préserve la stabilité.