The pentagram map, introduced by R. Schwartz, is a birational map on the configuration space of polygons in the projective plane. We study the singularities of the iterates of the pentagram map. We show that a ``typical'' singularity disappears after a finite number of iterations, a confinement phenomenon first discovered by Schwartz. We provide a method to bypass such a singular patch by directly constructing the first subsequent iterate that is well-defined on the singular locus under consideration. The key ingredient of this construction is the notion of a decorated (twisted) polygon, and the extension of the pentagram map to the corresponding decorated configuration space.
Résumé. L'application pentagramme de R. Schwartz est une application birationnelle sur l'espace des polygones dans le plan projectif. Nous étudions les singularités des itérations de l'application pentagramme. Nous montrons qu'une singularité ``typique'' disparaît après un nombre fini d'itérations, un phénomène découvert par Schwartz. Nous fournissons une méthode pour contourner une telle singularité en construisant la première itération qui est bien définie. L'ingrédient principal de cette construction est la notion d'un polygone décoré et l'extension de l'application pentagramme á l'espace de configuration décoré.