On the Topology of the Cambrian Semilattices
Myrto Kallipoliti, Henri Mühle
Abstract
For an arbitrary Coxeter group W, David Speyer and Nathan Reading defined Cambrian semilattices Cγ as certain sub-semilattices of the weak order on W. In this article, we define an edge-labeling using the realization of Cambrian semilattices in terms of γ-sortable elements, and show that this is an EL-labeling for every closed interval of Cγ. In addition, we use our labeling to show that every finite open interval in a Cambrian semilattice is either contractible or spherical, and we characterize the spherical intervals, generalizing a result by Nathan Reading.
Résumé. Pour tout groupe de Coxeter W, David Speyer et Nathan Reading ont défini les demi-treillis Cambriens comme certains sous-demi-treillis de l'ordre faible sur W. Dans cet article, nous définissons un étiquetage des arêtes basé sur la réalisation des demi-treillis Cambriens en termes d'éléments γ-triables, et prouvons que c'est un étiquetage EL pour tout intervalle fermé de Cγ. Nous utilisons de plus cet étiquetage pour montrer que tout intervalle ouvert fini dans un demi-treillis Cambrien est soit contractible soit sphérique, et nous caractérisons les intervalles sphériques, généralisant ainsi un résultat de Nathan Reading.
Résumé. Pour tout groupe de Coxeter W, David Speyer et Nathan Reading ont défini les demi-treillis Cambriens comme certains sous-demi-treillis de l'ordre faible sur W. Dans cet article, nous définissons un étiquetage des arêtes basé sur la réalisation des demi-treillis Cambriens en termes d'éléments γ-triables, et prouvons que c'est un étiquetage EL pour tout intervalle fermé de Cγ. Nous utilisons de plus cet étiquetage pour montrer que tout intervalle ouvert fini dans un demi-treillis Cambrien est soit contractible soit sphérique, et nous caractérisons les intervalles sphériques, généralisant ainsi un résultat de Nathan Reading.
Full Text: PostScript PDF