DMTCS Proceedings, 25th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2013)

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On Kerov polynomials for Jack characters

Maciej Dołęga, Valentin Féray

Abstract


Abstract. We consider a deformation of Kerov character polynomials, linked to Jack symmetric functions. It has been introduced recently by M. Lassalle, who formulated several conjectures on these objects, suggesting some underlying combinatorics. We give a partial result in this direction, showing that some quantities are polynomials in the Jack parameter α with prescribed degree. Our result has several interesting consequences in various directions. Firstly, we give a new proof of the fact that the coefficients of Jack polynomials expanded in the monomial or power-sum basis depend polynomially in α. Secondly, we describe asymptotically the shape of random Young diagrams under some deformation of Plancherel measure. Résumé. On considère une déformation des polynômes de Kerov pour les caractères du groupe symétrique. Cette déformation est liée aux polynômes de Jack. Elle a été récemment définie par M. Lassalle, qui a proposé plusieurs conjectures sur ces objets, suggérant ainsi l'existence d'une combinatoire sous-jacente. Nous donnons un résultat partiel dans cette direction, en montrant que certaines quantités sont des polynômes (dont on contrôle les degrés) en fonction du paramètre de Jack α. Notre résultat a des conséquences intéressantes dans des directions diverses. Premièrement, nous donnons une nouvelle preuve de la polynomialité (toujours en fonction de α) des coefficients du développement des polynômes de Jack dans la base monomiale. Deuxièmement, nous décrivons asymptotiquement la forme de grands diagrammes de Young distribués selon une déformation de la mesure de Plancherel.

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