We prove that the complement of a complexified toric arrangement has the homotopy type of a minimal CW-complex, and thus its homology is torsion-free. To this end, we consider the toric Salvetti complex, a combinatorial model for the arrangement's complement. Using diagrams of acyclic categories we obtain a stratification of this combinatorial model that explicitly associates generators in homology to the ``local no-broken-circuit sets'' defined in terms of the incidence relations of the arrangement. Then we apply a suitably generalized form of Discrete Morse Theory to describe a sequence of elementary collapses leading from the full model to a minimal complex.
Résumé. On démontre que l'espace complementaire d'un arrangement torique complexifié a le type d'homotopie d'un complexe CW minimal, donc que ses groupes d'homologie sont libres. On considère d'abord un modèle combinatoire du complementaire de l'arrangement: le complexe de Salvetti torique. On obtient une stratification de ce complexe qui fait correspondre explicitement les génerateurs d'homologie aux ``circuits-non-rompus locaux'' associés aux relations d'incidence de l'arrangement. On applique une forme generalisée de la théorie de Morse discrète pour obtenir une suite de collapsements elementaires qui conduit à un complexe minimale.