DMTCS Proceedings, 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010)

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Tropical secant graphs of monomial curves

María Angélica Cueto, Shaowei Lin


We construct and study an embedded weighted balanced graph in ℝn+1 parameterized by a strictly increasing sequence of n coprime numbers { i1, …, in}, called the tropical secant surface graph. We identify it with the tropicalization of a surface in ℂn+1 parameterized by binomials. Using this graph, we construct the tropicalization of the first secant variety of a monomial projective curve with exponent vector (0, i1, …, in), which can be described by a balanced graph called the tropical secant graph. The combinatorics involved in computing the degree of this classical secant variety is non-trivial. One earlier approach to this is due to K. Ranestad. Using techniques from tropical geometry, we give algorithms to effectively compute this degree (as well as its multidegree) and the Newton polytope of the first secant variety of any given monomial curve in ℙ4.
Résumé. On construit et on étude un graphe plongé dans ℝn+1 paramétrisé par une suite strictement croissante de n nombres entiers {i1, …, in}, premiers entre eux. Ce graphe s'appelle graphe tropical surface sécante. On montre que ce graphe est la tropicalisation d'une surface dans ℂn+1 paramétrisé par des binômes. On utilise ce graphe pour construire la tropicalisation de la première sécante d'une courbe monomiale ayant comme vecteur d'exponents (0, i1, …, in). On répresent ce variété tropical pour un graphe balancé (le graphe tropical sécante). La combinatoire qu'on utilise pour le calcul du degré de ces variétés sécantes classiques n'est pas triviale, et a été developé par K. Ranestad. En utilisant des techniques de la géométrie tropicale, on donne des algorithmes qui calculent le degré (même le multidegré) et le polytope de Newton de la première sécante d'une courbe monomiale de ℙ4.

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