DMTCS Proceedings, 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010)

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f-vectors of subdivided simplicial complexes (extended abstract)

Emanuele Delucchi, Aaron Pixton, Lucas Sabalka

Abstract


We take a geometric point of view on the recent result by Brenti and Welker, who showed that the roots of the f-polynomials of successive barycentric subdivisions of a finite simplicial complex X converge to fixed values dependinig only on the dimension of X. We show that these numbers are roots of a certain polynomial whose coefficients can be computed explicitely. We observe and prove an interesting symmetry of these roots about the real number -2. This symmetry can be seen via a nice realization of barycentric subdivision as a simple map on formal power series. We then examine how such a symmetry extends to more general types of subdivisions. The generalization is formulated in terms of an operator on the (formal) ring on the set of simplices of the complex.
Résumé. On applie un point de vue géométrique à un récent résultat de Brenti et Welker, qui ont montré que les racines des polynômes f de subdivisions barycentriques successives d'un complexe simplicial X convergent vers des valeurs fixes, ne dépendant que de la dimension de X. On preuve que ces nombres sont en effet eux-mêmes racines d'un polynôme dont les coefficients peuvent être calculés explicitement. De plus, on observe et on démontre une symétrie particulière de ces nombres autour du numéro -2. Cette symétrie se révèle en exprimant l'opération de subdivision barycentrique par une fonction sur des séries de puissances formelles. Une symétrie pareille existe pour des méthodes de subdivision plus générales, où elle s'exprime par des operateurs sur l'anneau des sommes formelles de simplexes du complexe.

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