Let W be a finite crystallographic reflection group, with root system Φ. Associated to W there is a positive integer, the generalized Catalan number, which counts the clusters in the associated cluster algebra, the noncrossing partitions for W, and several other interesting sets. Bijections have been found between the clusters and the noncrossing partitions by Reading and Athanasiadis et al. There is a further generalization of the generalized Catalan number, sometimes called the Fuss-Catalan number for W, which we will denote Cm(W). Here m is a positive integer, and C1(W) is the usual generalized Catalan number. Cm(W) counts the m-noncrossing partitions for W and the m-clusters for Φ. In this abstract, we will give an explicit description of a bijection between these two sets. The proof depends on a representation-theoretic reinterpretation of the problem, in terms of exceptional sequences of representations of quivers.
Résumé. Soit W un groupe de réflections fini et crystallographique, avec système de racines Φ. Associé à W, il y a un entier positif, le nombre de Catalan généralisé, qui compte les amas dans l'algèbre amassée associée, les partitions non-croisées de W, et plusieurs autres ensembles intéressantes. Des bijections entre les amas et les partitions non-croisées ont été données par Reading et Athanasiadis et al. On peut encore généraliser le nombre de Catalan généralisé, obtenant le nombre Fuss-Catalan de W, que nous noterons Cm(W). Ici m est un entier positif, et C1(W) est le nombre Catalan généralisé standard. Cm(W) compte les partitions m-non-croisées de W et les m-amas de Φ. Dans ce résumé, nous donnerons une bijection explicite entre ces deux ensembles. La démonstration dépend d'une réinterprétation des objets du point de vue des suites exceptionnelles de représentations de carcois.