We define a poset using the shortest paths in the Bruhat graph of a finite Coxeter group W from the identity to the longest word in W, w0. We show that this poset is the union of Boolean posets of rank absolute length of w0; that is, any shortest path labeled by reflections t1,…,tm is fully commutative. This allows us to give a combinatorial interpretation to the lowest-degree terms in the complete cd-index of W.
Résumé. Nous définons un poset en utilisant le plus court chemin entre l'identité et le plus long mot de W, w0, dans le graph de Bruhat du groupe finie Coxeter, W. Nous prouvons que ce poset est l'union de posets Boolean du même rang que la longueur absolute de w0; ça signifie que tous les plus courts chemins, étiquetés par reflections t1,…, tm sont totalement commutatives. Ça nous permet de donner une interpretation combinatorique aux terms avec le moindre grade dans le cd-index complet de W.