We discuss some recent progress on the Monotone Column Permanent (MCP) conjecture. We use a general method for proving that a univariate polynomial has real roots only, namely by showing that a corresponding multivariate polynomial is stable. Recent connections between stability of polynomials and the strong Rayleigh property revealed by Brändén allows for a computationally feasible check of stability for multi-affine polynomials. Using this method we obtain a simpler proof for the n=3 case of the MCP conjecture, and a new proof for the n=4 case. We also show a multivariate version of the stability of Eulerian polynomials for n ≤5 which arises as a special case of the multivariate MCP conjecture.
Résumé. Nous présentons des développements récents concernant la conjecture Monotone Column Permanent (MCP). Nous utilisons une méthode générale pour prouver qu'un polynôme univarié a uniquement des racines réelles, c'est-à-dire que nous prouvons qu'un polynôme correspondant a plusieurs variables est stable. Les nouveaux liens, établis par Brändén, entre la stabilité des polynômes et la propriété forte de Rayleigh, permettent de vérifier facilement la stabilité de polynômes multi-affines. En utilisant cette méthode nous obtenons une preuve plus simple pour la conjecture MCP pour le cas n=3, et la première preuve pour le cas n=4. Nous présentons également une version multivarée de stabilité des polynômes d'Euler pour le cas n ≤5, qui appara&\i;t comme un cas spécial de la conjecture MCP multivarée.