Given a sequence (ak)=a0,a1,a2,… of real numbers, define a new sequence L(ak)=(bk) where bk=ak2-ak-1ak+1. So (ak) is log-concave if and only if (bk) is a nonnegative sequence. Call (ak) infinitely log-concave\/ if Li(ak) is nonnegative for all i≥1. Boros and Moll conjectured that the rows of Pascal's triangle are infinitely log-concave. Using a computer and a stronger version of log-concavity, we prove their conjecture for the nth row for all n≤1450. We can also use our methods to give a simple proof of a recent result of Uminsky and Yeats about regions of infinite log-concavity. We investigate related questions about the columns of Pascal's triangle, q-analogues, symmetric functions, real-rooted polynomials, and Toeplitz matrices. In addition, we offer several conjectures.
Résumé. Étant donné une suite (ak)=a0,a1,a2,… de nombres réels, on définit une nouvelle suite L(ak)=(bk) où bk=ak2-ak-1ak+1. Alors (ak) est log-concave si et seulement si (bk) est une suite non négative. On dit que (ak) est infiniment log-concave\/ si Li(ak) est non négative pour tout i≥1. Boros et Moll ont conjecturé que les lignes du triangle de Pascal sont infiniment log-concave. Utilisant un ordinateur et une version plus forte de log-concavité, on vérifie leur conjecture pour la nième ligne, pour tout n ≤1450. On peut aussi utiliser nos méthodes pour donner une preuve simple d'un résultat récent de Uminsky et Yeats à propos des régions de log-concavité infini. Reliées à ces idées, on examine des questions à propos des colonnes du triangle de Pascal, des q-analogues, des fonctions symétriques, des polynômes avec racines réelles, et des matrices de Toeplitz. De plus, on offre plusieurs conjectures.