We aim to generalize a theorem on the number of rooted spanning forests of a highly symmetric graph to the case of asymmetric graphs. We show that this can be achieved by means of an identity between the minor determinants of a Laplace matrix, for which we provide two different (combinatorial as well as algebraic) proofs in the simplest case. Furthermore, we discuss the connections to electrical networks and the enumeration of spanning trees in sequences of self-similar graphs.
Résumé. Nous visons à généraliser un théorème sur le nombre de forêts couvrantes d'un graphe fortement symétrique au cas des graphes asymétriques. Nous montrons que cela peut être obtenu au moyen d'une identité sur les determinants mineurs d'une matrice Laplacienne, pour laquelle nous donnons deux preuves différentes (combinatoire ou bien algébrique) dans le cas le plus simple. De plus, nous discutons les relations avec des réseaux électriques et l'énumération d'arbres couvrants dans de suites de graphes autosimilaires.