Let χλ be the irreducible Sn-character corresponding to the partition λ of n, equivalently, the preimage of the Schur function sλ under the Frobenius characteristic map. Let φλ be the function Sn →ℂ which is the preimage of the monomial symmetric function mλ under the Frobenius characteristic map. The irreducible character immanant Immλ(x) = ∑w ∈Sn χλ(w) x1,w1 ⋯xn,wn evaluates nonnegatively on each totally nonnegative matrix A. We provide a combinatorial interpretation for the value Immλ (A) in the case that λ is a hook partition. The monomial immanant Immφλ(x) = ∑w ∈Sn φλ(w) x1,w1 ⋯xn,wn is conjectured to evaluate nonnegatively on each totally nonnegative matrix A. We confirm this conjecture in the case that λ is a two-column partition by providing a combinatorial interpretation for the value Immφλ (A).
Résumé. Soit χλ le caractère irréductible de Sn qui correspond à la partition λ de l'entier n, ou de manière équivalente, la préimage de la fonction de Schur sλ par l'application caractéristique de Frobenius. Soit φλ la fonction Sn →ℂ qui est la préimage de la fonction symétrique monomiale mλ. La valeur du caractère irréductible immanent Immλ(x) = ∑w ∈Sn χλ(w) x1,w1 ⋯xn,wn est non négative pour chaque matrice totalement non négative. Nous donnons une interprétation combinatoire de la valeur Immλ (A) lorsque λ est une partition en équerre. Stembridge a conjecturé que la valeur de l'immanent monomial Immφλ(x) = ∑w ∈Sn φλ(w) x1,w1 ⋯xn,wn de φλ est elle aussi non négative pour chaque matrice totalement non négative. Nous confirmons cette conjecture quand λ satisfait λ1 ≤2, et nous donnons une interprétation combinatoire de Immφλ (A) dans ce cas.