In this paper we study topological properties of the poset of injective words and the lattice of classical non-crossing partitions. Specifically, it is shown that after the removal of the bottom and top elements (if existent) these posets are doubly Cohen-Macaulay. This extends the well-known result that those posets are shellable. Both results rely on a new poset fiber theorem, for doubly homotopy Cohen-Macaulay posets, which can be considered as an extension of the classical poset fiber theorem for homotopy Cohen-Macaulay posets.
Résumé. Dans cet article, nous étudions certaines propriétés topologiques du poset des mots injectifs et du treillis des partitions non-croisées classiques. Plus précisément, nous montrons qu'après suppression des plus petit et plus grand élément (s'ils existent), ces posets sont doublement Cohen-Macaulay. C'est une extension du fait bien connu que ces deux posets sont épluchables (``shellable''). Ces deux résultats reposent sur un nouveau théorème poset-fibre pour les posets doublement homotopiquement Cohen-Macaulay, que l'on peut voir comme extension du théorème poset-fibre classique pour les posets homotopiquement Cohen-Macaulay.