We give explicit formulas for the number Un(N) of closed polygonal paths of length N (starting from the origin) whose steps are n^th roots of unity, as well as asymptotic expressions for these numbers when N →∞. We also prove that the sequences (Un(N))N ≥0 are P-recursive for each fixed n ≥1 and leave open the problem of determining the values of N for which the dual sequences (Un(N))n ≥1 are P-recursive.
Résumé. Nous donnons des formules explicites pour le nombre Un(N) de chemins polygonaux fermés de longueur N (débutant à l'origine) dont les pas sont des racines n-ièmes de l'unité, ainsi que des expressions asymptotiques pour ces nombres lorsque N →∞. Nous démontrons aussi que les suites (Un(N))N ≥0 sont P-récursives pour chaque n ≥1 fixé et laissons ouvert le problème de déterminer les valeurs de N pour lesquelles les suites duales (Un(N))n ≥1 sont P-récursives.