When W is a finite reflection group, the noncrossing partition lattice NC(W) of type W is a very rich combinatorial object, extending the notion of noncrossing partitions of an n-gon. A formula (for which the only known proofs are case-by-case) expresses the number of multichains of a given length in NC(W) as a generalized Fuß-Catalan number, depending on the invariant degrees of W. We describe how to understand some specifications of this formula in a case-free way, using an interpretation of the chains of NC(W) as fibers of a ``Lyashko-Looijenga covering''. This covering is constructed from the geometry of the discriminant hypersurface of W. We deduce new enumeration formulas for certain factorizations of a Coxeter element of W.
Résumé. Lorsque W est un groupe de réflexion fini, le treillis NC(W) des partitions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, qui généralise la notion de partitions non-croisées d'un n-gone. Une formule (seulement prouvée au cas par cas à l'heure actuelle) exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans NC(W) sous la forme d'un nombre de Fuß-Catalan généralisé, qui dépend des degrés invariants de W. Nous décrivons une stratégie visant à comprendre certaines spécifications de cette formule de manière uniforme, en utilisant une interprétation des chaînes de NC(W) comme fibres d'un ``revêtement de Lyashko-Looijenga''. Ce revêtement est construit à partir de la géométrie de l'hypersurface du discriminant de W. Nous en déduisons de nouvelles formules de comptage pour certaines factorisations d'un élément de Coxeter de W.