Schrijver introduced the stable Kneser graph SGn,k, n≥1, k≥0. This graph is a vertex critical graph with chromatic number k+2, its vertices are certain subsets of a set of cardinality m=2n+k. Björner and de Longueville have shown that its box complex is homotopy equivalent to a sphere, Hom(K2,SGn,k)≃k. The dihedral group D2m acts canonically on SGn,k. We study the D2m action on Hom(K2,SGn,k) and define a corresponding orthogonal action on ℝk+1supk. We establish a close equivariant relationship between the graphs SGn,k and Borsuk graphs of the k-sphere and use this together with calculations in the ℤ2-cohomology ring of D2m to tell which stable Kneser graphs are test graphs in the sense of Babson and Kozlov. The graphs SG2s,4 are test graphs, i.e. for every graph H and r≥0 such that Hom(SG2s,4,H) is (r-1)-connected, the chromatic number χ(H) is at least r+6. On the other hand, if k∉{0,1,2,4,8} and n≥ N(k) then SGn,k is not a homotopy test graph, i.e. there are a graph G and an r≥1 such that Hom(SGn,k, G) is (r-1)-connected and χ(G)<r+k+2. The latter result also depends on a new necessary criterion for being a test graph, which involves the automorphism group of the graph.
Résumé. Schrijver a défini le graphe de Kneser stable SGn,k, avec n≥1 et k≥0. Le graphe SGn,k est un graphe critique (par rapport aux sommets) de nombre chromatique k+2, dont les sommets correspondent à certains sous-ensembles d'un ensemble de cardinalité m=2n+k. Björner et de Longueville ont démontré que son complexe de boîtes et la sphère sont homotopiquement équivalents, c'est-à-dire Hom(K2,SGn,k)≃k. Le groupe diédral D2m agit sur SGn,k canoniquement. Nous étudions l'action de D2m sur Hom(K2,SGn,k) et nous définissons une action orthogonale correspondante sur ℝk+1supk. Par ailleurs, nous fournissons une relation équivariante étroite entre les graphes SGn,k et les graphes de Borsuk de la sphère de dimension k. Utilisant cette relation et certains calculs dans l'anneau de cohomologie de D2m sur ℤ2, nous décrivons quels graphes de Kneser stables sont des graphes de tests selon la notion de Babson et Kozlov. Les graphes SG2s,4 sont des graphes de tests, c'est-à-dire que pour tout H et r≥0 tels que Hom(SG2s,4,H) est (r-1)-connexe, le nombre chromatique χ(H) est au moins r+6. D'autre part, si k∉{0,1,2,4,8} et n≥N(k), alors SGn,k n'est pas un graphe de tests d'homologie: il existe un graphe G et un entier r≥1 tels que Hom(SGn,k, G) est (r-1)-connexe et χ(G)<r+k+2. Ce dernier résultat dépend d'un nouveau critère nécessaire pour être un graphe de tests, qui implique le groupe d'automorphismes du graphe.