We consider unicellular maps, or polygon gluings, of fixed genus. In FPSAC '09 the first author gave a recursive bijection transforming unicellular maps into trees, explaining the presence of Catalan numbers in counting formulas for these objects. In this paper, we give another bijection that explicitly describes the ``recursive part'' of the first bijection. As a result we obtain a very simple description of unicellular maps as pairs made by a plane tree and a permutation-like structure. All the previously known formulas follow as an immediate corollary or easy exercise, thus giving a bijective proof for each of them, in a unified way. For some of these formulas, this is the first bijective proof, e.g. the Harer-Zagier recurrence formula, or the Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer formulas. Thanks to previous work of the second author this also leads us to a new expression for Stanley character polynomials, which evaluate irreducible characters of the symmetric group.
Résumé. Nous considérons des cartes orientées à une face de genre fixé. À SFCA'09 le premier auteur a introduit une bijection récursive envoyant une carte unicellulaire vers un arbre, ce qui permet d'obtenir des formules énumératives pour les cartes à une face (et en particulier la présence des nombres de Catalan). Dans l'article ici présent, et en nous appuyant sur la bijection ci-dessus, nous obtenons une incarnation très simple des cartes à une face comme des paires formées d'un arbre plan et d'une permutation d'un certain type. Toutes les formules précédemment connues découlent aisément de cette nouvelle incarnation, donnant des preuves bijectives dans un cadre unifié. Pour certaines de ces formules, telles que la récurrence de Harer-Zagier ou les formules de Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer, nous obtenons la première preuve bijective connue. Par ailleurs, en combinant notre approche avec des travaux du second auteur, nous obtenons une nouvelle expression pour les polynômes de Stanley qui donnent certaines évaluations des caractères du groupe symétrique.