The number of Monotone Triangles with bottom row k1 < k2 < ⋯< kn is given by a polynomial α(n; k1,…,kn) in n variables. The evaluation of this polynomial at weakly decreasing sequences k1 ≥k2 ≥⋯≥kn turns out to be interpretable as signed enumeration of new combinatorial objects called Decreasing Monotone Triangles. There exist surprising connections between the two classes of objects 13; in particular it is shown that α(n;1,2,…,n) = α(2n; n,n,n-1,n-1,…,1,1). In perfect analogy to the correspondence between Monotone Triangles and Alternating Sign Matrices, the set of Decreasing Monotone Triangles with bottom row (n,n,n-1,n-1,…,1,1) is in one-to-one correspondence with a certain set of ASM-like matrices, which also play an important role in proving the claimed identity algebraically. Finding a bijective proof remains an open problem.
Résumé. Le nombre de Triangles Monotones ayant pour dernière ligne k1 < k2 < ⋯< kn est donné par un polynôme α(n; k1,…,kn) en n variables. Il se trouve que les valeurs de ce polynôme en les suites décroissantes k1 ≥k2 ≥⋯≥kn peuvent s'interpréter comme l'énumération signée de nouveaux objets appelés Triangles Monotones Décroissants. Il existe des liens surprenants entre ces deux classes d'objets 13; en particulier on prouvera l'identité α(n;1,2,…,n) = α(2n; n,n,n-1,n-1,…,1,1). En parfaite analogie avec la correspondance entre Triangles Monotones et Matrices à Signe Alternant, l'ensemble des Triangles Monotones Décroissants ayant pour dernière ligne (n,n,n-1,n-1,…,1,1) est en correspondance biunivoque avec un certain ensemble de matrices similaires aux MSAs, ce qui joue un rôle important dans la preuve algébrique de l'identité précédente. C'est un problème ouvert que d'en donner une preuve bijective.