We give a polyomino characterisation of recurrent configurations of the sandpile model on the complete bipartite graph Km,n in which one designated vertex is the sink. We present a bijection from these recurrent configurations to decorated parallelogram polyominoes whose bounding box is a m×n rectangle. Other combinatorial structures appear in special cases of this correspondence: for example bicomposition matrices (a matrix analogue of set partitions), and (2+2)-free posets. A canonical toppling process for recurrent configurations gives rise to a path within the associated parallelogram polyominoes. We define a collection of polynomials that we call q,t-Narayana polynomials, the generating functions of the bistatistic (area, bounceWeight) on the set of parallelogram polyominoes, akin to Haglund's (area, hbounce) bistatistic on Dyck paths. In doing so, we have extended a bistatistic of Egge et al. to the set of parallelogram polyominoes. This is one answer to their question concerning extensions to other combinatorial objects. We conjecture the q,t-Narayana polynomials to be symmetric and discuss the proofs for numerous special cases. We also show a relationship between the q,t-Catalan polynomials and our bistatistic (area, bounceWeight) on a subset of parallelogram polyominoes.
Résumé. Pour le modèle du tas de sable sur un graphe Km,n biparti complet, on donne une description des configurations récurrentes à l'aide d'une bijection avec des polyominos parallélogrammes décorés de rectangle englobant m×n. D'autres classes combinatoires apparaissent comme des cas particuliers de cette construction: par exemple les matrices de bicomposition et les ordres partiels évitant le motif (2+2). Un processus d'éboulement canonique des configurations récurrentes se traduit par un chemin bondissant dans le polyomino parallélogramme associé. Nous définissons une famille de polynômes, baptisée de q,t-Narayana, à travers la distribution d'une paire de statistique (aire,poidscheminbondissant) sur les polyominos parallélogrammes similaire à celle de Haglund définissant les polynômes de q,t-Catalan sur les chemins de Dyck. Ainsi nous étendons une paire de statistique de Egge et d'autres à l'ensemble des polynominos parallélogrammes. Cela réponds à l'une de leur question sur des généralistations à d'autres objets combinatoires. Nous conjecturons que les polynômes de q,t-Narayana sont symétriques et discutons des preuves de plusieurs cas particuliers. Nous montrons également une relation avec les polynômes de q,t-Catalan en restreignant notre paire de statistique à un sous-ensemble des polyominos parallélogrammes.