Given a fan Δ and a cone σ∈Δ, let star1(σ) be the set of cones that contain σ and are one dimension bigger than σ. In this paper we study two cones of piecewise linear functions defined on Δ: the cone of functions which are convex on star1(σ) for all cones, and the cone of functions which are convex on star1(σ) for all cones of codimension 1. We give nice combinatorial descriptions for these two cones given two different fan structures on the tropical linear space of complete graphs. For the complete graph K5, we prove that with the finer fan subdivision the two cones are not equal, but with the coarser subdivision they are the same. This gives a negative answer to a question of Gibney-Maclagan that for the finer subdivision the two cones are the same.
Résumé. Soit Δ un fan, pour σ∈Δ nous définissons star1(σ) comme l'ensemble de cônes qui contiennent σ dont la dimension est un de plus que la dimension de σ. Nous étudions deux cônes d'applications linéaires par morceaux définis sur Δ: le cône de fonctions convexes sur star1(σ), où σ∈Δ est un cône quelconque, et le cône de fonctions convexes sur star1(σ) où σ est un cône de codimension 1. Étant donnés deux structures sur l'espace tropical linéaire de graphes complets, nous donnons de beaux descriptions combinatoires des cônes décrits en haut. Pour le graphe complet K5, on démontre que avec la subdivision en fans plus fine, les deux cônes sont différentes, mais avec la subdivision plus gros ils sont cônes sont les mêmes. Ce résultant réponde négativement une question de Gibney-Maclagan.