DMTCS Proceedings, 24th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2012)

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An inequality of Kostka numbers and Galois groups of Schubert problems

Christopher J. Brooks, Abraham Martín del Campo, Frank Sottile


We show that the Galois group of any Schubert problem involving lines in projective space contains the alternating group. Using a criterion of Vakil and a special position argument due to Schubert, this follows from a particular inequality among Kostka numbers of two-rowed tableaux. In most cases, an easy combinatorial injection proves the inequality. For the remaining cases, we use that these Kostka numbers appear in tensor product decompositions of &slC;-modules. Interpreting the tensor product as the action of certain commuting Toeplitz matrices and using a spectral analysis and Fourier series rewrites the inequality as the positivity of an integral. We establish the inequality by estimating this integral.
Résumé. On montre que le groupe de Galois de tout problème de Schubert concernant des droites dans l'espace projective contient le groupe alterné. On utilisant un critère de Vakil et l'argument de position spéciale due à Schubert, ce résultat se déduit d'une inégalité particulière des nombres de Kostka des tableaux ayant deux rangées. Dans la plus part des cas, une injection combinatoriale facile montre l'inégalité. Pour les cas restant, on utilise le fait que ces nombres de Kostka apparaissent dans la décomposition en produit tensoriel des &slC;-modules. En interprétant le produit tensoriel comme l'action de certaines matrices de Toeplitz commutantent entre elles, et en utilisant de l'analyse spectrale et les séries de Fourier, on reécrit l'inégalité comme la positivitée d'une intègrale. L'inégalité sera établie en estimant cette intègrale.

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