Double-dimers and the hexahedron recurrence
R. Kenyon, R. Pemantle
Abstract
We define and study a recurrence relation in ℤ3, called
the hexahedron recurrence, which is similar to the octahedron
recurrence (Hirota bilinear difference equation) and cube recurrence
(Miwa equation). Like these examples, solutions to the hexahedron
recurrence are partition functions for configurations on a certain
graph, and have a natural interpretation in terms of cluster
algebras. We give an explicit correspondence between monomials in the
Laurent expansions arising in the recurrence with certain
double-dimer configurations of a graph. We compute limit shapes for
the corresponding double-dimer configurations. The Kashaev difference
equation arising in the Ising model star-triangle relation is a
special case of the hexahedron recurrence. In particular this reveals
the cluster nature underlying the Ising model. The above relation
allows us to prove a Laurent phenomenon for the Kashaev difference
equation.
Resumé. Nous définissons une relation sur ℤ3 appellée ``hexahedron recurrence", qui est un cousin des relations bilinéaires ``octaédrale" et ``cubique". Comme ces exemples, ses solutions peuvent être décrits comme fonctions de partition pour certaines configurations d'arêtes sur un graphe planaire, et ont une interprétation naturelle en termes de clusters. Nous trouvons une correspondance explicite entre le termes dans les développements de Laurent dans ce récurrences et certains double-recouvrements par dimères du graphe sous-jacent. On calcule les formes limites. L'équation de Kashaev paraissant dans l'opération triangle-étoile du modèle d'Ising est un cas spéciale de notre récurrence. Ce fait révèle la nature ``cluster" du modèle d'Ising, et nous permette de montrer la propriété de Laurent pour l'équation de Kashaev.
Resumé. Nous définissons une relation sur ℤ3 appellée ``hexahedron recurrence", qui est un cousin des relations bilinéaires ``octaédrale" et ``cubique". Comme ces exemples, ses solutions peuvent être décrits comme fonctions de partition pour certaines configurations d'arêtes sur un graphe planaire, et ont une interprétation naturelle en termes de clusters. Nous trouvons une correspondance explicite entre le termes dans les développements de Laurent dans ce récurrences et certains double-recouvrements par dimères du graphe sous-jacent. On calcule les formes limites. L'équation de Kashaev paraissant dans l'opération triangle-étoile du modèle d'Ising est un cas spéciale de notre récurrence. Ce fait révèle la nature ``cluster" du modèle d'Ising, et nous permette de montrer la propriété de Laurent pour l'équation de Kashaev.
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