Let (W, S) be a Coxeter system. A W-graph is an encoding of a representation of the corresponding Iwahori-Hecke algebra. Especially important examples include the W-graph corresponding to the action of the Iwahori-Hecke algebra on the Kazhdan-Lusztig basis as well as this graph's strongly connected components (cells). In 2008, Stembridge identified some common features of the Kazhdan-Lusztig graphs (``admissibility'') and gave combinatorial rules for detecting admissible W-graphs. He conjectured, and checked up to n=9, that all admissible An-cells are Kazhdan-Lusztig cells. The current paper provides a possible first step toward a proof of the conjecture. More concretely, we prove that the connected subgraphs of An-cells consisting of simple (i.e. directed both ways) edges do fit into the Kazhdan-Lusztig cells.
Résumé. Soit (W, S) un système de Coxeter. Un W-graphe est un objet qui décrit certaines représentations de l'algèbre de Iwahori-Hecke. Des exemples particulièrement importants sont les W-graphes correspondant à l'action de l'algèbre de Iwahori-Hecke sur la base de Kazhdan-Lusztig ainsi que ses composantes fortement connexes (cellules). En 2008, Stembridge a identifié quelques caractéristiques communes des graphes de Kazhdan-Lusztig et a donné une caractérisation combinatoire de tous ces W-graphes. Il a conjecturé, et a vérifié jusqu'à n = 9, que toutes ces An-cellules sont des cellules de Kazhdan-Lusztig. Le présent article fournit la premirè étape d'une démonstration possible de cette conjecture. Plus concrètement, nous montrons que les sous-graphes connexes de An-cellules composés d'arêtes s'insèrent dans les cellules de Kazhdan-Lusztig.