The simplicial rook graph SR(d,n) is the graph whose vertices are the lattice points in the nth dilate of the standard simplex in ℝd, with two vertices adjacent if they differ in exactly two coordinates. We prove that the adjacency and Laplacian matrices of SR(3,n) have integral spectra for every n. We conjecture that SR(d,n) is integral for all d and n, and give a geometric construction of almost all eigenvectors in terms of characteristic vectors of lattice permutohedra. For n≤binom(d, 2), we give an explicit construction of smallest-weight eigenvectors in terms of rook placements on Ferrers diagrams. The number of these eigenvectors appears to satisfy a Mahonian distribution.
Resumé. Le graphe des tours simplicials SR(d,n) est le graphe dont les sommets sont les points du réseau dans le nième dilation du simplexe standard dans ℝd; deux sommets sont adjacents s'ils différent dans exactement deux coordonnées. Nous montrons que tous les valeurs propres des matrices d'adjacence et laplacienne de SR(3,n) sont entiers, pour tous les n. Nous conjecturons que les valeurs propres sont entiers pour tous d et n, et donnons une construction géometrique de presque tous les vecteurs propres en termes des vecteurs caractéristiques de permutoèdres treillis. Pour n≤binom(d, 2), nous donnons une construction explicite des vecteurs propres de plus petits poids en termes des placements des tours sur diagrammes de Ferrers. Le nombre de ces vecteurs propres semble satisfaire une distribution Mahonian.