Generalized monotone triangles
Lukas Riegler
Abstract
In a recent work, the combinatorial interpretation of the polynomial α(n; k1,k2,…,kn) counting the number of Monotone Triangles with bottom row k1 < k2 < ⋯< kn was extended to weakly decreasing sequences k1 ≥k2 ≥⋯≥kn. In this case the evaluation of the polynomial is equal to a signed enumeration of objects called Decreasing Monotone Triangles. In this paper we define Generalized Monotone Triangles 13; a joint generalization of both ordinary Monotone Triangles and Decreasing Monotone Triangles. As main result of the paper we prove that the evaluation of α(n; k1,k2,…,kn) at arbitrary (k1,k2,…,kn) ∈ ℤn is a signed enumeration of Generalized Monotone Triangles with bottom row (k1,k2,…,kn). Computational experiments indicate that certain evaluations of the polynomial at integral sequences yield well-known round numbers related to Alternating Sign Matrices. The main result provides a combinatorial interpretation of the conjectured identities and could turn out useful in giving bijective proofs.
Résumé. Dans un travail récent, l'interprétation combinatoire du polynôme α(n;k1,k2,…,kn) comptant le nombre de triangles monotones avec dernière ligne k1 < k2 < ⋯< kn a été étendue aux suites faiblement décroissantes k1 ≥k2 ≥⋯≥kn. Dans ce cas l'évaluation du polynôme est égale à l'énumération signée d'objets appelés triangles monotones décroissants. Dans ce papier nous définissons des triangles monotones généralisés 13; une généralisation commune des triangles monotones ordinaires et décroissants. Notre résultat principal est que l'évaluation de α(n;k1,k2,…,kn) en un quelconque (k1,k2,…,kn) ∈ℤn est une énumération signée de triangles monotones généralisés avec dernière ligne (k1,k2,…,kn). Des calculs par ordinateur indiquent que certaines valeurs du polynôme sont des nombres bien connus liés aux matrices à signe alternant. Le résultat principal fournit une interprétation combinatoire des identités conjecturales et pourrait être utile dans l'obtention de preuves bijectives.
Résumé. Dans un travail récent, l'interprétation combinatoire du polynôme α(n;k1,k2,…,kn) comptant le nombre de triangles monotones avec dernière ligne k1 < k2 < ⋯< kn a été étendue aux suites faiblement décroissantes k1 ≥k2 ≥⋯≥kn. Dans ce cas l'évaluation du polynôme est égale à l'énumération signée d'objets appelés triangles monotones décroissants. Dans ce papier nous définissons des triangles monotones généralisés 13; une généralisation commune des triangles monotones ordinaires et décroissants. Notre résultat principal est que l'évaluation de α(n;k1,k2,…,kn) en un quelconque (k1,k2,…,kn) ∈ℤn est une énumération signée de triangles monotones généralisés avec dernière ligne (k1,k2,…,kn). Des calculs par ordinateur indiquent que certaines valeurs du polynôme sont des nombres bien connus liés aux matrices à signe alternant. Le résultat principal fournit une interprétation combinatoire des identités conjecturales et pourrait être utile dans l'obtention de preuves bijectives.
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