Erdős and Rényi conjectured in 1960 that the limiting probability p that a random graph with n vertices and M=n/2 edges is planar exists. It has been shown that indeed p exists and is a constant strictly between 0 and 1. In this paper we answer completely this long standing question by finding an exact expression for this probability, whose approximate value turns out to be p ≈0.99780. More generally, we compute the probability of planarity at the critical window of width n2/3 around the critical point M=n/2. We extend these results to some classes of graphs closed under taking minors. As an example, we show that the probability of being series-parallel converges to 0.98003. Our proofs rely on exploiting the structure of random graphs in the critical window, obtained previously by Janson, Luczak and Wierman, by means of generating functions and analytic methods. This is a striking example of how analytic combinatorics can be applied to classical problems on random graphs.
Résumé. Erdős et Rényi ont conjecturé en 1960 que la probabilité limite p qu'un graphe aléatoire avec n sommets et M=n/2 arêtes;soit planaire existe. Il a été prouvé qu'en fait p existe et est une constante comprise strictement entre 0 et 1. Dans ce travail nous fermons complètement cette question en trouvant l'expression exacte pour cette probabilité, dont la valeur approchée s'avère être;p ≈0.99780. Plus genéralement, nous calculons la probabilité qu'un graphe soit planaire dans la fenêtre;critique de largeur n2/3 autour du point critique M=n/2. Nous étendons ces resultats à différentes classes de graphes closes par exclusion de mineurs. A titre d'exemple, nous montrons que la probabilité d'être;série-parallèle converge vers 0.98003. Nos preuves exploitent la structure des graphes aléatoires dans la fenêtre;critique, décrite précedemment par Janson, Luczak et Wierman, en utilisant les séries génératrices et des méthodes analytiques. Cet exemple notable montre que la combinatoire analytique peut être;utilisée pour des problèmes classiques de graphes aléatoires.