The A2-spider category encodes the representation theory of the sl3 quantum group. Kuperberg (1996) introduced a combinatorial version of this category, wherein morphisms are represented by planar graphs called webs and the subset of reduced webs forms bases for morphism spaces. A great deal of recent interest has focused on the combinatorics of invariant webs for tensors powers of V+, the standard representation of the quantum group. In particular, the invariant webs for the 3nth tensor power of V+ correspond bijectively to [n,n,n] standard Young tableaux. Kuperberg originally defined this map in terms of a graphical algorithm, and subsequent papers of Khovanov-Kuperberg (1999) and Tymoczko (2012) introduce algorithms for computing the inverse. The main result of this paper is a redefinition of Kuperberg's map through the representation theory of the symmetric group. In the classical limit, the space of invariant webs carries a symmetric group action. We use this structure in conjunction with Vogan's generalized tau-invariant and Kazhdan-Lusztig theory to show that Kuperberg's map is a direct analogue of the Robinson-Schensted correspondence.
Résumé. La catégorie d'araignée A2 encode la théorie des représentations du groupe quantique Uq(sl3). Kuperberg (1996) a introduit une version combinatoire de cette catégorie, dans laquelle les morphismes sont reprśentés par des graphes planaires appelés toiles dont le sous-ensemble de toiles réduites constitue des bases pour les espaces de morphismes. Beaucoup d'interêt a été fixé recemment sur le combinatoire des toiles invariantes pour les puissances tensorielles de V+, la représentation standarde de Uq(sl3). En particulier, les toiles invariantes pour (V+)3n sont en corresponance bijective au tableaux de Young standards [n,n,n]. L'application original de Kuperberg avait une définition en termes d'un algorithme graphique, puis des articles de Khovanov-Kuperberg (1999) et Tymoczko (2012) présentent des algorithmes pour la computation d l'inverse. Le résultat principal de cette article est une redéfinition de l'application de Kuperberg à travers la théorie de représentations du groupe symétrique. Dans la limite classique, l'éspace des toiles invariantes porte une action de S3n. On emploie cette structure de concert avec l'invariant tau généralisé de Vogan et la théorie Kazhdan-Lusztig pour montrer que l'application de Kuperberg est un analogue direct de la correspondance Robinson-Schensted.