Each positive rational number x>0 can be written uniquely as x=a/(b-a) for coprime positive integers 0<a<b. We will identify x with the pair (a,b). In this extended abstract we use rational Dyck paths to define for each positive rational x>0 a simplicial complex &Ass;(x)=&Ass;(a,b) called the rational associahedron. It is a pure simplicial complex of dimension a-2, and its maximal faces are counted by the rational Catalan number &Cat;(x)=&Cat;(a,b):=(a+b-1)! / a! b!. The cases (a,b)=(n,n+1) and (a,b)=(n,kn+1) recover the classical associahedron and its Fuss-Catalan generalization studied by Athanasiadis-Tzanaki and Fomin-Reading. We prove that &Ass;(a,b) is shellable and give nice product formulas for its h-vector (the rational Narayana numbers) and f-vector (the rational Kirkman numbers). We define &Ass;(a,b) .
Résumé. Tout nombre rationnel positif x>0 peut être;exprimé de fa&xE;7on unique par x=a/(b-a) avec 0<a<b deux entiers positifs premiers entre eux. Nous identifierons x avec la paire (a, b). Dans cet article, nous utilisons les chemins de Dyck rationnels pour définir pour tout rationnel positif x>0 un complexe simplicial &Ass;(x)=&Ass;(a,b) que nous appelons l'associahedron rationnel. Il s'agit d'un complexe simplicial pur de dimension a-2, et ses faces maximales sont comptées par le nombre rationnel de Catalan &Cat;(x)=&Cat;(a,b):=(a+b-1)! / a! b!. Les cas (a,b)=(n,n+1) et (a,b)=(n,kn+1) permettent de retrouver l'associhedron classique et sa généralisation Fuss-Catalan, étudiée par Athanasiadis-Tzanaki et Fomin-Reading. Nous démontrons que &Ass;(a,b) est shellable et nous donnons des formules de produits simples pour son h-vecteur (les nombres rationnels de Narayana) et son f-vecteur (les nombres rationnels de Kirkman).