Many cyclic actions τ on a finite set &cS; of combinatorial objects, along with a natural statistic f on &cS;, exhibit ``homomesy'': the average of f over each τ-orbit in &cS; is the same as the average of f over the whole set &cS;. This phenomenon was first noticed by Panyushev in 2007 in the context of antichains in root posets; Armstrong, Stump, and Thomas proved Panyushev's conjecture in 2011. We describe a theoretical framework for results of this kind and discuss old and new results for the actions of promotion and rowmotion on the poset that is the product of two chains.
Résumé. Plusieurs actions cycliques τ sur un ensemble fini &cS; d'objets combinatoires muni d'une statistique naturelle f sur &cS; démontrent une ``homomesie'': la moyenne de f sur une orbite de τ en &cS; est la même que la moyenne de f sur la totalité de l'ensemble &cS;. Ce phénomène a été d'abord remarqué par Panyushev en 2007 dans le contexte des anti-chaînes dans des posets de racine; Armstrong, Stump, et Thomas ont demontré la conjecture de Panyushev en 2011. On décrit un contexte de travail pour énoncer des résultats de ce genre et on discute de nouveaux et d'anciens résultats pour des actions de ``promotion'' et ``rowmotion'' sur le poset qui est le produit de deux chaînes.