A driving question in (quantum) cohomology of flag varieties is to find non-recursive, positive combinatorial formulas for expressing the quantum product in a particularly nice basis, called the Schubert basis. Bertram, Ciocan-Fontanine and Fulton provide a way to compute quantum products of Schubert classes in the Grassmannian of k-planes in complex n-space by doing classical multiplication and then applying a combinatorial rimhook rule which yields the quantum parameter. In this paper, we provide a generalization of this rim hook rule to the setting in which there is also an action of the complex torus. Combining this result with Knutson and Tao's puzzle rule provides an effective algorithm for computing the equivariant quantum Littlewood-Richardson coefficients. Interestingly, this rule requires a specialization of torus weights that is tantalizingly similar to maps in affine Schubert calculus.
Résumé. Une question importante dans la cohomologie quantique des variétés de drapeaux est de trouver des formules positives non recursives pour exprimer le produit quantique dans une base particulièrement bonne, appélée la base de Schubert. Bertram, Ciocan-Fontanine et Fulton donnent une facon de calculer les produits quantiques de classes de Schubert dans la Grassmannienne de k-plans dans l'espace complexe de dimension n en faisant la multiplication classique et appliquant une régle combinatoire ``rimhook'' qui donne le paramètre quantique. Dans cet article, nous donnons une generalisation de ce regle rimhook au contexte ou il y a aussi une action du tore complexe. Combiné avec la régle ``puzzle'' de Knutson et Tao, cela donne une algorithme effective pour calculer les coefficients equivariantes de Littlewood-Richard. C'est interessant à observer que cette regle demande une specialisation des poids du tore qui est similaire d'une maniére tentante aux applications dans le calcul de Schubert affine.