The set of all permutations, ordered by pattern containment, forms a poset. This extended abstract presents the first explicit major results on the topology of intervals in this poset. We show that almost all (open) intervals in this poset have a disconnected subinterval and are thus not shellable. Nevertheless, there seem to be large classes of intervals that are shellable and thus have the homotopy type of a wedge of spheres. We prove this to be the case for all intervals of layered permutations that have no disconnected subintervals of rank 3 or more. We also characterize in a simple way those intervals of layered permutations that are disconnected. These results carry over to the poset of generalized subword order when the ordering on the underlying alphabet is a rooted forest. We conjecture that the same applies to intervals of separable permutations, that is, that such an interval is shellable if and only if it has no disconnected subinterval of rank 3 or more. We also present a simplified version of the recursive formula for the Möbius function of decomposable permutations given by Burstein et al.
Résumé. L'ensemble de toutes les permutations, ordonné par l'endiguement des motifs, forme un ensemble partiellement ordonné. Ce résumé éxtensif présente les premiers résultats majeurs explicites sur la topologie des intervalles dans ce poset. Nous montrons que presque tous les intervalles (ouverts) dans ce poset ont un sous-intervalle déconnecté et donc ne sont pas enveloppable (``shellable''). Néanmoins, il semble y avoir de grandes classes d'intervalles qui sont enveloppable et ont donc le type homotopique d'un bouquet de sphères. Nous démontrons que ce soit le cas pour tous les intervalles de permutations étagés qui n'ont pas de sous-intervalles disjoints de rang 3 ou plus. Nous caractérisons également de manière simple les intervalles de permutations étagés qui sont déconnectés. Ces résultats portent sur l'ensemble partiellement ordonné de l'ordre de sous-mot généralisé lorsque l'ordre sur l'alphabet sous-jacent est une forêt enracinée. Nous faisons la conjecture que la même chose s'applique à des intervalles de permutations séparables, c'est à dire, un tel intervalle est enveloppable si et seulement s'il n'a pas de sous-intervalle déconnecté de rang 3 ou plus. Nous présentons également une version simplifiée de la formule récursive pour la fonction de Möbius de permutations décomposables proposés par Burstein et al.