We investigate the role that non-crossing partitions play in the study of positroids, a class of matroids introduced by Postnikov. We prove that every positroid can be constructed uniquely by choosing a non-crossing partition on the ground set, and then freely placing the structure of a connected positroid on each of the blocks of the partition. We use this to enumerate connected positroids, and we prove that the probability that a positroid on [n] is connected equals 1/e2 asymptotically. We also prove da Silva's 1987 conjecture that any positively oriented matroid is a positroid; that is, it can be realized by a set of vectors in a real vector space. It follows from this result that the positive matroid Grassmannian (or positive MacPhersonian) is homeomorphic to a closed ball.
Résumé. Nous étudions le rôle des partitions sans croisements dans l'étude des positroïdes, une classe de matroïdes introduite par Postnikov. On montre que chaque positroïde peut être construit de manière unique par le choix d'une partition sans croisements de l'ensemble [n] ainsi que le choix d'un positroide connexe pour chacun des blocs de la partition. Nous utilisons ce résultat pour énumérer les positroïdes connexes, et nous prouvons que la probabilité qu'un positroïde sur [n] soit connexe est asymptotiquement égale à 1/e2. Nous prouvons aussi une conjecture de 1987 dûe à da Silva : tout matroïde orienté positivement est un positroïde; autrement dit, il peut être réalisé par un ensemble de vecteurs dans un espace vectoriel réel. Il découle de ce résultat que la Grassmannienne matroïde positive (ou MacPhersonienne positive) est homéomorphe à un boule fermée.