We describe a new uniform generation tree for permutations with the specific property that, for most permutations, all of their descendants in the generation tree have the same number of fixed points. Our tree is optimal for the number of permutations having this property. We then use this tree to describe a new random generation algorithm for derangements, using an expected n+O(1) calls to a random number generator. Another application is a combinatorial algorithm for exact sampling from the Poisson distribution with parameter 1.
Résumé. Nous décrivons un nouvel arbre de génération uniforme pour les permutations, ayant la propriété que, pour la majorité des permutations, tous leurs descendants ont le même nombre de points fixes; notre arbre est optimal en ce sens. Grâce à cet arbre, nous obtenons un nouvel algorithme de génération aléatoire uniforme de dérangements, algorithme qui nécessite, en moyenne, n+O(1) appels à un générateur de nombres aléatoires; ainsi qu'une méthode combinatoire de simulation exacte de la loi de Poisson de paramètre 1.