This paper uses the theory of dual equivalence graphs to give explicit Schur expansions to several families of symmetric functions. We begin by giving a combinatorial definition of the modified Macdonald polynomials and modified Hall-Littlewood polynomials indexed by any diagram δ⊂ℤ ×ℤ, written as &widetilde;Hδ(X;q,t) and &widetilde;Pδ(X;t), respectively. We then give an explicit Schur expansion of &widetilde;Pδ(X;t) as a sum over a subset of the Yamanouchi words, as opposed to the expansion using the charge statistic given in 1978 by Lascoux and Schüztenberger. We further define the symmetric function Rγ,δ(X) as a refinement of &widetilde;Pδ and similarly describe its Schur expansion. We then analysize Rγ,δ(X) to determine the leading term of its Schur expansion. To gain these results, we associate each Macdonald polynomial with a signed colored graph Hδ. In the case where a subgraph of Hδ is a dual equivalence graph, we provide the Schur expansion of its associated symmetric function, yielding several corollaries.
Résumé. Ce document utilise la théorie des graphes double équivalence pour donner expansions de Schur explicites à plusieurs familles de fonctions symétriques. Nous commençons par donner une définition combinatoire des polynômes de Macdonald modifiés et polynômes de Hall-Littlewood modifiés indexés par tout schèma δ⊂ℤ×ℤ, écrit &widetilde;Hδ(X, q, t) et &widetilde;P δ(X , t), respectivement. Nous donnons ensuite une expansion de Schur explicite de &widetilde;Pδ(X, t) comme une somme sur un sous-ensemble des mots Yamanouchi, plutôt que l'expansion en utilisant la statistique de charge donnée en 1978 par Lascoux et Schüztenberger . Nous définissons davantage la fonction symétrique Rγ, δ(X) comme un raffinement de &widetilde;Pδ et décrire même son expansion de Schur . Nous analysons puis Rγ,δ(X) afin de dèterminer le premier terme de son expansion de Schur. pour obtenir ces résultats, nous associons chaque polynôme Macdonald avec un graphique coloré signé Hδ. En le cas où un sous-graphe de Hδ est un graphe dual équivalence, nous fournissons l'expansion de Schur de sa fonction symétrique associée, ce qui donne plusieurs corollaires.