Various authors have studied a natural operation (under various names) on the order ideals (equivalently antichains) of a finite poset, here called rowmotion. For certain posets of interest, the order of this map is much smaller than one would naively expect, and the orbits exhibit unexpected properties. In very recent work (inspired by discussions with Berenstein) Einstein and Propp describe how rowmotion can be generalized: first to the piecewise-linear setting of order polytopes, then via detropicalization to the birational setting. In the latter setting, it is no longer a priori clear even that birational rowmotion has finite order, and for many posets the order is infinite. However, we are able to show that birational rowmotion has the same order, p+q, for the poset P=[p]×[q] (product of two chains), as ordinary rowmotion. We also show that birational (hence ordinary) rowmotion has finite order for some other classes of posets, e.g., the upper, lower, right and left halves of the poset above, and trees having all leaves on the same level. Our methods are based on those used by Volkov to resolve the type AA (rectangular) Zamolodchikov Periodicity Conjecture.
Résumé. Une op&xE;9ration naturelle sur les id&xE;9aux d'ordre (ou, de fa&xE;7on &xE;9quivalente, sur les anticha&xEEnes;) d'un ensemble partiellement ordonn&xE;9 fini, appel&xE;9e ici rowmotion, a &xE;9t&xE;9 &xE;9tudi&xE;9e par divers auteurs. Pour certains ensembles partiellement ordonn&xE;9s particuli&xE;8rement int&xE;9ressants, l'ordre de cette application rowmotion est beaucoup plus petit que ce &xE;0 quoi on peut s'attendre na&xEFvement;, et ses orbites ont des propri&xE;9t&xE;9s inattendues. Dans un travail tr&xE;8s r&xE;9cent (inspir&xE;9 par des conversations avec Berenstein), Einstein et Propp ont d&xE;9crit comment le rowmotion peut &xEAtre;g&xE;9n&xE;9ralis&xE;9: d'abord au contexte lin&xE;9aire par morceaux des polytopes d'ordre, ensuite au contexte birationnel par d&xE;9tropicalisation. Dans ce dernier contexte, il n'est m&xEAme;plus clair a priori si le rowmotion birationnel est d'ordre fini, et son ordre est infini pour beaucoup d'ensembles partiellement ordonn&xE;9s. Malgr&xE;9 tout, nous avons pu montrer que le rowmotion birationnel a le m&xEAme;ordre p+q pour l'ensemble partiellement ordonn&xE;9 P=[p]×[q] (produit de deux cha&xEEnes;) que le rowmotion ordinaire. Nous montrons aussi que le rowmotion birationnel (et par cons&xE;9quent le rowmotion ordinaire aussi) est d'ordre fini pour d'autres classes d'ensembles partiellement ordonn&xE;9s, par exemple les moiti&xE;9s sup&xE;9rieure, inf&xE;9rieure, droite et gauche de l'ensemble partiellement ordonn&xE;9 mentionn&xE;9 auparavant, et les arbres dont toutes les feuilles sont au m&xEAme;niveau. Nos m&xE;9thodes sont bas&xE;9es sur celles utilis&xE;9es par Volkov pour &xE;9tablir la conjecture de p&xE;9riodicit&xE;9 de Zamolodchikov de type AA (rectangulaire).