We discuss arrangements of equal minors in totally positive matrices. More precisely, we would like to investigate the structure of possible equalities and inequalities between the minors. We show that arrangements of equals minors of largest value are in bijection with sorted sets, which earlier appeared in the context of alcoved polytopes\/ and Gröbner bases. Maximal arrangements of this form correspond to simplices of the alcoved triangulation of the hypersimplex; and the number of such arrangements equals the Eulerian number. On the other hand, we conjecture and prove in many cases that arrangements of equal minors of smallest value are exactly the weakly separated sets. Weakly separated sets, originally introduced by Leclerc and Zelevinsky, are closely related to the positive Grassmannian\/ and the associated cluster algebra.
Résumé. Il s'agit des arrangements des mineurs égaux dans les matrices totalement positives. Plus précisément, nous aimerions étudier la structure des égalités et inégalités possibles entre les mineurs. Nous montrons que les arrangements des mineurs égaux de plus grande valeur sont en bijection avec les ensembles triés, qui auparavant apparaissaient dans le cadre de polytopes alcôve\/ et bases de Gröbner. Arrangements maximales de ce format correspondent aux simplexes de la triangulation alcôve de la hypersimplex, et le nombre de ces arrangements est égal au nombre eulérien. D'autre part, nous conjecturons et prouvons dans des cas nombreux que les arrangements des mineurs égaux de plus petite valeur sont notamment les ensembles faiblement séparés. Ces ensembles faiblement séparés, initialement introduites par Leclerc et Zelevinsky, sont liés à la Grassmannienne positive et l'algèbre cluster.