A stabilized-interval-free (SIF) permutation on [n], introduced by Callan, is a permutation that does not stabilize any proper interval of [n]. Such permutations are known to be the irreducibles in the decomposition of permutations along non-crossing partitions. That is, if sn denotes the number of SIF permutations on [n], S(z)=1+∑n≥1 sn zn, and F(z)=1+∑n≥1 n! zn, then F(z)= S(zF(z)). This article presents, in turn, a decomposition of SIF permutations along non-crossing partitions. Specifically, by working with a convenient diagrammatic representation, given in terms of perfect matchings on alternating binary strings, we arrive at the chord-connected permutations on [n], counted by {cn}n≥1, whose generating function satisfies S(z)= C(zS(z)). The expressions at hand have immediate probabilistic interpretations, via the celebrated moment-cumulant formula of Speicher, in the context of the free probability theory of Voiculescu. The probability distributions that appear are the exponential and the complex Gaussian.
Résumé. Tel que défini par Callan, une permutation sur n chiffres est dite &em;intervalle stabilisé si elle ne stabilise pas d'intervalle propre de [n]. Ces permutations jouent le r&xF;4le des irréductibles dans la décomposition des permutations selon les partitions non-croisées. En d'autres mots, si sn dénombre les permutations à intervalle stabilisé sur n chiffres, et si on considère les fonctions génératrices S(z)=1+∑n≥1 sn zn ainsi que F(z)=1+∑n≥1 n! zn, on obtient alors la relation F(z)= S(zF(z)). En revanche, le but de cet article est de décrire la décomposition analogue (toujours selon les partitions non-croisées) des permutations à intervalle stabilisé. Plus spécifiquement, partant d'une représentation diagrammatique formulée à partir des appariements sur des mots binaires à chiffres alternants, on introduit une nouvelle notion de permutations connexe. Si on dénote par C(z) la fonction génératrice correspondante, alors cette dernière satisfait à son tour la relation S(z)= C(zS(z)). Les expressions dont il est question ont une interprétation naturelle dans le cadre des probabilités libres de Voiculescu, par le biais de la correspondance combinatorielle célèbre de Speicher entre les moments et les cumulants libres des variables aléatoires non-commutatives. Les variables aléatoires considérées à présent sont l'exponentielle et la gaussienne complexe.