Bott-Samelson varieties factor the flag variety G/B into a product of ℂℙ1's with a map into G/B. These varieties are mostly studied in the case in which the map into G/B is birational; however in this paper we study fibers of this map when it is not birational. We will see that in some cases this fiber is a toric variety. In order to do so we use the moment map of a Bott-Samelson variety to translate this problem into a purely combinatorial one in terms of a subword complex. These simplicial complexes, defined by Knutson and Miller, encode a lot of information about reduced words in a Coxeter system. Pilaud and Stump realized certain subword complexes as the dual to the boundary of a polytope which generalizes the brick polytope defined by Pilaud and Santos. For a nice family of words, the brick polytope is the generalized associahedron realized by Hohlweg and Lange. These stories connect in a nice way: the moment polytope of a fiber of the Bott-Samelson map is the Brick polytope. In particular, we give a nice description of the toric variety of the associahedron.
Résumé. Les vari&xE;9t&xE;9s de Bott-Samelson facteur le vari&xE;9t&xE;9 de drapeaux G/B dans un produit de ℂℙs'1 avec une application dans G/B. Ces vari&xE;9t&xE;9s sont principalement &xE;9tudi&xE;9s dans le cas o&xF;9 la application dans G/B est birationnelle. Dans cet article, nous &xE;9tudions les fibres de cette application quand il n'est pas birationnelle. Nous verrons que dans certains cas, cette fibre est une vari&xE;9t&xE;9 torique. Pour ce faire, nous utilisons l'application moment d'une vari&xE;9t&xE;9 Bott-Samelson pour traduire ce probl&xE;8me dans une question purement combinatoire en termes d'un complexe de sous-mot. Ces complexes simpliciaux, d&xE;9finies par Knutson et Miller, codent pour un grand nombre d'informations sur les mots reduits dans un groupe de Coxeter. Pilaud et Stump d&xE;9crits certains complexes de sous-mots comme le dual d?une frontier d'un polytope qui g&xE;9n&xE;9ralise le polytope de briques d&xE;9fini par Pilaud et Santos. Pour une belle famille de mots, le polytope de briques est l?associa&xE;8dre g&xE;9n&xE;9ralis&xE;9e r&xE;9alis&xE;9 par Hohlweg et Lange. Ces histoires se connecter d'une mani&xE;8re agr&xE;9able: le polytope moment d'une fibre de l?application Bott-Samelson est le polytope de briques. En particulier, nous donnons une belle description de la vari&xE;9t&xE;9 torique du associa&xE;8dre.