Define the interval rank r[i,j] : Grk(&mathbb;Cn) →&mathbb;N of a k-plane V as the dimension of the orthogonal projection π[i,j](V) of V to the (j-i+1)-dimensional subspace that uses the coordinates i,i+1,…,j. By measuring all these ranks, we define the interval rank stratification of the Grassmannian Grk(&mathbb;Cn). It is finer than the Schubert and Richardson stratifications, and coarser than the positroid stratification studied by Lusztig, Postnikov, and others, so we call the closures of these strata interval positroid varieties. We connect Vakil's ``geometric Littlewood-Richardson rule'', in which he computed the homology classes of Richardson varieties (Schubert varieties intersected with opposite Schubert varieties), to Erdős-Ko-Rado shifting, and show that all of Vakil's varieties are interval positroid varieties. We build on his work in three ways: (1) we extend it to arbitrary interval positroid varieties, (2) we use it to compute in equivariant K-theory, not just homology, and (3) we simplify Vakil's (2+1)-dimensional ``checker games'' to 2-dimensional diagrams we call ``IP pipe dreams''. The ring Symm of symmetric functions and its basis of Schur functions is well-known to be very closely related to the ring ⊕a,b H*(Gra(&mathbb;Ca+b)) and its basis of Schubert classes. We extend the latter ring to equivariant K-theory (with respect to a circle action on each &mathbb;Ca+b), and compute the structure constants of this two-parameter deformation of Symm using the interval positroid technology above.
Résumé. &junk;{ Nous définissons le rang d'intervalle r[i,j] : Grk(ℂn) →ℕ d'un sous-espace V ⊆ℂn de dimension k comme la dimension de la projection orthogonale π[i,j](V) de V au sous-espace de dimension (j-i+1) parametrisé par les coordinates i, i+1, …,j. En prenant toutes les ranges [i,j], nous définisons la stratification de rang d'intervalle de la Grassmannienne Grk(ℂn). Cette stratification est plus fine que les stratifications de Schubert et de Richardson, mais moins fine que la stratification de positro&\"i;de étudié par Lusztig, Postnikov et ailleurs. Nous appellons donc {&b;variétés d'intervalle positro&\"i;de} les clôtures de ces strata. } Le rang d'intervalle r[i,j] : Grk(ℂn) →ℕ d'un sous 13;espace V ⊂ℂn de dimension k est la dimension de la projection orthogonale π[i,j](V) de V sur le sous 13;espace de dimension (j-i+1) paramétré par les coordonnées i, i+1, …j. En considérant tous les rangs [i,j] nous définissons la stratification selon le rang d'intervalle de la Grassmannienne Grk(ℂn). Cette stratification est plus fine que les stratifications de Schubert et de Richardson, mais plus grossière que la stratification de positro&\"i;de étudiée entre autres par Lusztig et Postnikov. Nous appelons donc {&b;variétés d'intervalle positro&\"i;de} les clôtures de ces strates. &junk;{ Nous lions la ``règle de Littlewood-Richardson geometrique'' de Vakil, dans laquelle lui calculait les classes d'homologie de varietés Richardson (intersections de varietés Schubert varieties et varietés Schubert opposés), au déplacement d'Erdős-Ko-Rado. Nous prouvent que toutes les varietés de Vakil sont variétés d'intervalle positro&\"i;de. Nous prolongeons la théorie de Vakil en trois façons : (1) nous l'élargissons à variétés d'intervalle positro&\"i;de quelconques, (2) nous l'utilisons pour calculer dans K-théorie équivariante, non seulement dans homologie, et (3) nous simplifions les ``jeu d'échecs'' de Vakil de dimension (2 + 1), introduisant des diagrammes de dimensional 2 qui nous appellons ``IP tuyauteries''. (Si n>1, ceci n'est pas une pipe.) } Nous relions la ``règle de Littlewood 13;Richardson géométrique" de Vakil, qui calcule les classes d'homologie des variétés de Richardson (intersections des variétés de Schubert et des variétés de Schubert opposées) au déplacement d'Erdős-Ko-Rado. Nous prouvons que toutes les variétés de Vakil sont des variétés d'intervalle positro&\"i;de. Nous étendons la théorie de Vakil de trois fa cons: (1) nous l'étendons aux variétés d'intervalle positro&\"i;de quelconques, (2) nous l'utilisons pour del calculs en K 13;théorie équivariante, plutôt que simplement en homologie, et (3) nous simplifions les ``jeux de dames" de Vakil de dimension (2+1) en introduisant des diagrammes bidimensionnels que nous appelons ``tuyauteries IP" (pour n>1 ceci n'est pas une pipe). &junk;{ On sait bien que l'anneau Symm des fonctions symétriques et sa base des fonctions Schur est prochement apparenté à l'anneau ⊕a,b Gra(ℂa+b) et sa base des classes de Schubert. Nous généralisons l'anneau plus récent à K-théorie équivariante (par rapport à une action du circle sur chaque ℂa+b), et nous calculons les constants qui définissent la structure multiplicative de cette déformation à deux paramètres de Symm, utilisant la nouvelle technologique des varietés interval positro&\"i;de ci-dessus. } Il est bien connu que l'anneau Symm des fonctions symétriques et sa base des fonctions de Schur sont étroitement liées à l'anneau ⊕a,b H*(Gra(ℂa+b)) et à sa base des classes de Schubert. Nous étendons cet anneau à la K 13;théorie équivariante (pour une action du cercle sur chaque ℂa+b) et nous calculons les constantes de structure de cette déformation à deux paramètres de Symm, par le biais des techniques d'intervalles positro&\"i;des précédentes.