Let W⋉L be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex Σ, where W denotes the associated finite Weyl group and L the translation subgroup. The &st; is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of Σ by the lattice L. We show that the ordinary and flag h-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over W for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary h-polynomial has a nonnegative γ-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the h-polynomials of Steinberg tori.
Résumé. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible W ⋉L avec complexe de Coxeter Σ, où W désigne le groupe de Weyl fini associé et L le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de Σ par L. Nous montrons que les h-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur W pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un h-polynôme ordinaire possède un γ-vecteur positif, et par conséquent, a des coéfficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les h-polynômes des tores de Steinberg.