We consider the graded Hopf algebra NCSym of symmetric functions with non-commutative variables, which is analogous to the algebra Sym of the ordinary symmetric functions in commutative variables. We give formulaes for the product and coproduct on some of the analogues of the Sym bases and expressions for a shuffle product on NCSym. We also consider the invariants of the hyperoctahedral group in the non-commutative case and a state a few results.
Résumé. Nous considérons l'algèbre de Hopf graduée NCSym des fonctions symétriques en variables non-commu-tatives, qui est analogue à l'algèbre Sym des fonctions symétriques en variables commutatives. Nous donnons des formules pour le produit et coproduit sur certaines des bases analogues à celles de Sym, ainsi qu'une expression pour le produit shuffle sur NCSym. Nous considérons aussi les invariants du groupe hyperoctaédral dans le cas non-commutatif et énonçons quelques résultats.