According to the Göttsche conjecture (now a theorem), the degree Nd, δ of the Severi variety of plane curves of degree d with δ nodes is given by a polynomial in d, provided d is large enough. These ``node polynomials'' Nδ(d) were determined by Vainsencher and Kleiman--Piene for δ≤6 and δ≤8, respectively. Building on ideas of Fomin and Mikhalkin, we develop an explicit algorithm for computing all node polynomials, and use it to compute Nδ(d) for δ≤14. Furthermore, we improve the threshold of polynomiality and verify Göttsche's conjecture on the optimal threshold up to δ≤14. We also determine the first 9 coefficients of Nδ(d), for general δ, settling and extending a 1994 conjecture of Di Francesco and Itzykson.
Résumé. Selon la Conjecture de Göttsche (maintenant un Théorème), le degré Nd, δ de la variété de Severi des courbes planes de degré d avec δ noeuds est donné par un polynôme en d, pour d assez grand. Ces polynômes de noeuds Nδ(d) ont été déterminés par Vainsencher et Kleiman--Piene pour δ≤ 6 et δ≤8, respectivement. S'appuyant sur les idées de Fomin et Mikhalkin, nous développons un algorithme explicite permettant de calculer tous les polynômes de noeuds, et l'utilisons pour calculer Nδ (d), pour δ≤14. De plus, nous améliorons le seuil de polynomialité et vérifions la Conjecture de Göttsche sur le seuil optimal jusqu'à δ≤14. Nous déterminons aussi les 9 premiers coéfficients de Nδ(d) , pour un δ quelconque, confirmant et étendant la Conjecture de Di Francesco et Itzykson de 1994.