Let P be a polytope with rational vertices. A classical theorem of Ehrhart states that the number of lattice points in the dilations P(n) = nP is a quasi-polynomial in n. We generalize this theorem by allowing the vertices of P(n) to be arbitrary rational functions in n. In this case we prove that the number of lattice points in P(n) is a quasi-polynomial for n sufficiently large. Our work was motivated by a conjecture of Ehrhart on the number of solutions to parametrized linear Diophantine equations whose coefficients are polynomials in n, and we explain how these two problems are related.
Résumé. Soit P un polytope avec sommets rationelles. Un théorème classique des Ehrhart déclare que le nombre de points du réseau dans les dilatations P(n) = nP est un quasi-polynôme en n. Nous généralisons ce théorème en permettant à des sommets de P(n) comme arbitraire fonctions rationnelles en n. Dans ce cas, nous prouvons que le nombre de points du réseau en P(n) est une quasi-polynôme pour n assez grand. Notre travail a été motivée par une conjecture d'Ehrhart sur le nombre de solutions à linéaire paramétrée Diophantine équations dont les coefficients sont des polyômes en n, et nous expliquer comment ces deux problèmes sont liés.