We take a geometric view of lecture hall partitions and anti-lecture hall compositions in order to settle some open questions about their enumeration. In the process, we discover an intrinsic connection between these families of partitions and certain quadratic permutation statistics. We define some unusual quadratic permutation statistics and derive results about their joint distributions with linear statistics. We show that certain specializations are equivalent to the lecture hall and anti-lecture hall theorems and another leads back to a special case of a Weyl group generating function that ``ought to be better known.''
Résumé. Nous regardons géométriquement les partitions amphithéâtre et les compositions planétarium afin de résoudre quelques questions énumératives ouvertes. Nous découvrons un lien intrinsèque entre ces familles des partitions et certaines statistiques quadratiques de permutation. Nous définissons quelques statistiques quadratiques peu communes des permutations et dérivons des résultats sur leurs distributions jointes avec des statistiques linéaires. Nous démontrons que certaines spécialisations sont équivalentes aux théorèmes amphithéâtre et planétarium. Une autre spécialisation mène à un cas spécial de la série génératrice d'un groupe de Weyl qui ``devrait être mieux connue''.